ریاضیات برای علم داده
علم داده یک حوزه گسترده است که نیاز به تخصص زیادی دارد و در سطح مبتدی، این سوال منطقی است که بپرسید “چقدر ریاضی برای تبدیل شدن به یک دانشمند داده نیاز است؟” یا “چقدر باید در علم داده بدانید؟”. نکته اینجاست که وقتی روی حل مشکلات دنیای واقعی کار می‌کنید، نیاز دارید در مقیاس وسیعی فعالیت کنید و این قطعاً نیازمند داشتن مفاهیم روشن از ریاضیات است.
چقدر ریاضی برای تبدیل شدن به یک دانشمند داده نیاز دارید؟
ریاضیات برای علم داده
اولین مهارتی که باید در ریاضیات تسلط پیدا کنید، جبر خطی است و پس از آن آمار، حسابان و سایر مباحث مطرح می‌شوند. در اینجا ساختاری از ریاضیات ارائه می‌شود که برای تبدیل شدن به یک دانشمند داده موفق باید یاد بگیرید.
بخش ۱: جبر خطی
جبر خطی پایه‌ای برای درک بسیاری از الگوریتم‌های علم داده است.
- اعداد اسکالر، بردارها و ماتریس‌ها: اعداد اسکالر مقادیر منفرد هستند، بردارها آرایه‌هایی از مقادیر هستند که ویژگی‌ها را نشان می‌دهند و ماتریس‌ها ساختارهای دوبعدی هستند که برای نمایش مجموعه‌داده‌ها استفاده می‌شوند.
- ترکیبات خطی: در مدل‌های رگرسیون و تحلیل مؤلفه‌های اصلی (PCA) استفاده می‌شوند.
- عملیات برداری و ضرب نقطه‌ای: برای روش‌های کاهش گرادیان (Gradient Descent) استفاده می‌شود.
- انواع ماتریس‌ها و عملیات ماتریسی: برای حل معادلات و بهینه‌سازی مدل‌های یادگیری ماشین ضروری هستند.
- تبدیل خطی ماتریس: برای تغییر شکل داده‌ها استفاده می‌شود و اغلب در PCA و مقیاس‌بندی ویژگی‌ها کاربرد دارد.
- حل سیستم معادلات خطی: برای یافتن پارامترهای مدل، مانند رگرسیون خطی، ضروری است.
- مقادیر ویژه و بردارهای ویژه: برای درک واریانس و مؤلفه‌های اصلی استفاده می‌شود.
- تجزیه مقدار منفرد (SVD): ماتریس را به سه ماتریس کوچک‌تر تجزیه می‌کند و در کارهایی مانند فشرده‌سازی داده‌ها، کاهش نویز و کاهش ابعاد استفاده می‌شود.
- نرم‌ها و معیارهای فاصله:
- شباهت کسینوسی
- نرم‌های برداری برای تکنیک‌های تنظیم مانند Lasso و Ridge
- نگاشت خطی: برای تبدیل داده‌های ورودی
برای مطالعه بیشتر: عملیات جبر خطی برای یادگیری ماشین
بخش ۲: احتمال و آمار
هر دو از پایه‌های اساسی علم داده هستند و چارچوب ریاضی برای تحلیل، تفسیر و پیش‌بینی الگوها در داده‌ها را فراهم می‌کنند. در مدل‌سازی پیش‌بینانه، این مفاهیم به ساخت مدل‌های قابل اعتماد که عدم قطعیت را کمّی کرده و تصمیم‌گیری‌های مبتنی بر داده را ممکن می‌کنند، کمک می‌کنند.
احتمال برای علم داده
- فضای نمونه و انواع رویدادها: به درک نتایج ممکن و الگوها در داده‌ها کمک می‌کند و برای تشخیص ناهنجاری‌ها و ارزیابی ریسک ضروری است.
- قوانین احتمال: امکان پیش‌بینی دقیق رویدادها را فراهم می‌کند و در ارزیابی مدل‌ها کمک می‌کند.
- احتمال شرطی: در یادگیری ماشین برای کارهایی مانند طبقه‌بندی و سیستم‌های توصیه‌گر استفاده می‌شود.
- قضیه بیز: برای به‌روزرسانی پیش‌بینی‌ها با داده‌های جدید، در مدل‌هایی مانند Naive Bayes استفاده می‌شود.
- متغیرهای تصادفی و توزیع‌های احتمال: به مدل‌سازی عدم قطعیت در داده‌ها، انتخاب الگوریتم‌های مناسب و انجام آزمون فرضیه کمک می‌کند.
آمار برای علم داده
- قضیه حد مرکزی: اطمینان می‌دهد که میانگین نمونه‌ها به توزیع نرمال نزدیک می‌شود و برای استنتاج از نمونه‌ها مهم است.
- آمار توصیفی: ویژگی‌های مجموعه‌داده‌ها (میانگین، میانه، واریانس) را خلاصه می‌کند و به درک و تجسم الگوهای داده کمک می‌کند.
- آمار استنباطی: از نمونه‌ها نتیجه‌گیری درباره جامعه می‌کند و برای پیش‌بینی و آزمون فرضیه‌ها در علم داده ضروری است.
- برآورد نقطه‌ای و فاصله اطمینان
- آزمون فرضیه، مقدار p، خطاهای نوع I و II
- آزمون t
- آزمون t زوجی
- آزمون F
- آزمون z
- آزمون کای‌دو برای انتخاب ویژگی‌ها: استقلال ویژگی‌های طبقه‌ای را ارزیابی می‌کند و برای انتخاب ویژگی‌های مرتبط در یادگیری ماشین مفید است.
- همبستگی: به کمّی‌سازی شباهت بین مجموعه‌داده‌ها کمک می‌کند – همبستگی پیرسون برای خطی، کسینوس برای شباهت و اسپیرمن برای داده‌های رتبه‌ای.
- تفاوت همبستگی از علیت: همبستگی یک رابطه را نشان می‌دهد، اما علیت ثابت می‌کند که یک متغیر بر دیگری تأثیر می‌گذارد.
- انواع روش‌های نمونه‌گیری
بخش ۳: حسابان
حسابان برای بهینه‌سازی مدل‌ها ضروری است. مقاله اصلی “تسلط بر حسابان برای یادگیری ماشین” مروری جامع بر نقش پایه‌ای حسابان در یادگیری ماشین ارائه می‌دهد.
- مشتق‌گیری: یاد بگیرید چگونه از مشتقات برای اندازه‌گیری تغییرات در پارامترهای مدل و بهینه‌سازی توابع هزینه استفاده می‌شود.
- مشتقات جزئی: نحوه محاسبه گرادیان‌ها برای توابع چندمتغیره را درک کنید، که برای آموزش مدل‌ها با چندین پارامتر ضروری است.
- الگوریتم کاهش گرادیان (Gradient Descent): برای تنظیم تکراری پارامترها و کمینه‌سازی توابع هزینه استفاده می‌شود.
- پس‌انتشار در شبکه‌های عصبی
- قاعده زنجیره‌ای: این قاعده امکان پس‌انتشار در شبکه‌های عصبی را با محاسبه گرادیان‌ها برای توابع مرکب فراهم می‌کند.
- ماتریس‌های ژاکوبین و هسیان: اطلاعات مرتبه بالاتر درباره توابع ارائه می‌دهند. ژاکوبین‌ها برای نگاشت گرادیان‌ها در توابع برداری استفاده می‌شوند، در حالی که هسیان‌ها برای تکنیک‌های بهینه‌سازی مرتبه دوم مانند روش نیوتن حیاتی هستند.
- سری تیلور: توابع را در نزدیکی یک نقطه خاص تقریب می‌زند و توابع پیچیده را به نمایش‌های چندجمله‌ای ساده‌سازی می‌کند.
- مشتقات مرتبه بالاتر: انحنا و حساسیت یک تابع را نشان می‌دهند و برای درک ویژگی‌های همگرایی در بهینه‌سازی مهم هستند.
- تبدیل فوریه: برای درک و بهینه‌سازی توابع در حوزه فرکانس استفاده می‌شود، به ویژه در پردازش سیگنال و استخراج ویژگی‌ها.
- مساحت زیر منحنی: شامل انتگرال‌گیری (معکوس مشتق‌گیری) است و برای ارزیابی معیارهای عملکرد مانند AUC-ROC استفاده می‌شود.
بخش ۴: هندسه و نظریه گراف
نظریه گراف شاخه‌ای از ریاضیات است که از رأس‌ها (گره‌ها) و یال‌ها تشکیل شده است و برای تحلیل روابط و ساختارها در داده‌ها در تحلیل شبکه‌ها ضروری است.
- مبانی نظریه گراف – بخش ۱
- مبانی نظریه گراف – بخش ۲
به یاد داشته باشید: علم داده به حفظ فرمول‌ها مربوط نمی‌شود؛ بلکه درباره توسعه یک ذهنیت است که از اصول ریاضی برای استخراج الگوها و پیش‌بینی‌های معنادار از داده‌ها استفاده می‌کند. زمان بگذارید و این بخش‌ها را به‌طور عمیق درک کنید تا برای مواجهه با چالش‌های هیجان‌انگیز این حوزه آماده شوید.
با پیشرفت در مسیر علم داده، اغلب به این مفاهیم ریاضی مراجعه کنید. آن‌ها ستون فقرات علم داده هستند و به شما توانایی حل مشکلات متنوع با اعتماد به نفس و دقت را می‌دهند.
دیدگاهتان را بنویسید